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नेटवर्क सिद्धांत: मूलभूत सिद्धांत, जिस पर इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग की कई शाखाएं, जैसे कि विद्युत शक्ति, इलेक्ट्रिक मशीन, नियंत्रण, इलेक्ट्रॉनिक्स, कंप्यूटर, संचार और इंस्ट्रूमेंटेशन का निर्माण किया जाता है, इलेक्ट्रिक सर्किट सिद्धांत है। तो यहाँ नेटवर्क प्रमेय हमें किसी भी हालत के लिए किसी भी जटिल नेटवर्क को हल करने में मदद करता है

नोट: सभी प्रमेय केवल रैखिक नेटवर्क (Linear networks) पर ही लागू होते हैं, रैखिक नेटवर्क के सिद्धांत के अनुसार वे समरूपता (homogeneity ) और लत (Additivity) की स्थिति का पालन करते हैं

समरूपता सिद्धांत (Homogeneity Principle):

किसी भी इनपुट सिग्नल (Input signal) x (t) प्रणाली को सजातीय (homogeneous) कहा जाता है

यदि इनपुट x (t) → प्रतिक्रिया (response) देता है y (t)

फिर, इसे x k x (t) → k y (t) का पालन करना होगा

यानी किसी भी इनपुट सिग्नल में स्केलिंग एक ही कारक द्वारा आउटपुट सिग्नल को मापता है

एडिटिविटी सिद्धांत (Additivity Principle):

यदि दो इनपुट X₁ (t) + X₂ (t) ———-(y₁ (t) + y₂ (t)

फिर, k₁x₁ (t) + k₂x₂ (t) ——– k₁ y₁ (t) + k₂ y₂ (t)

यानी किन्हीं दो इनपुटों के योग से संबंधित आउटपुट वहां संबंधित आउटपुट का योग है

सुपरपोज़िशन सिद्धांत (Superposition Theorem)

सुपरपोज़िशन प्रमेय एक नेटवर्क को हल करने में उपयोग करता है जहां दो या अधिक स्रोत (sources) मौजूद होते हैं और श्रृंखला (series) में या समानांतर (parallel) में नहीं जुड़े होते हैं।

सुपरपोज़िशन प्रमेय में कहा गया है कि यदि कई वोल्टेज या वर्तमान स्रोत (current source) रैखिक द्विदिश नेटवर्क (Linear bidirectional network) में एक साथ काम कर रहे हैं, तो किसी भी शाखा (brunch) में परिणामी प्रतिक्रिया (resulant response) उन प्रतिक्रियाओं का बीजगणितीय योग (algebrain sum) है, जो उसमें उत्पन्न होंगे, जब प्रत्येक स्रोत अकेले आंतरिक प्रतिरोध (internal resistance) द्वारा अन्य सभी स्वतंत्र स्रोतों (independent source) को बदलने का कार्य करता है

सुपरपोजिशन प्रमेय का उपयोग करने की प्रक्रिया:
चरण -1: सर्किट में एक समय में एक स्रोत को बनाए रखें और अन्य सभी स्रोतों को उनके आंतरिक प्रतिरोधों से बदल दें।
चरण -2: एकल स्रोत के अकेले अभिनय के कारण आउटपुट (वर्तमान या वोल्टेज) का निर्धारण करें।
चरण -3: अन्य स्वतंत्र स्रोतों में से प्रत्येक के लिए चरण 1 और 2 दोहराएं।
चरण -4: स्वतंत्र स्रोतों के कारण बीजगणितीय रूप से सभी योगदानों को जोड़कर कुल योगदान का पता लगाएं।

तो ऊपर दिए गए सर्किट के लिए कुल प्रतिक्रिया या कहें कि वर्तमान मैं रोकनेवाला R2 के माध्यम से प्रत्येक स्रोत द्वारा प्राप्त व्यक्तिगत प्रतिक्रिया के योग के बराबर होगा।

सुपरपोज़िशन प्रमेय में सक्रिय तत्व को हटाना:

1. आदर्श वोल्टेज (Ideal voltage) स्रोत को शॉर्ट सर्किट से बदल दिया जाता है

2. आदर्श वर्तमान स्रोत (Ideal current source) को ओपन सर्किट द्वारा प्रतिस्थापित (replaced) किया जाता है

सुपरपोजिशन प्रमेय की सीमाएं:

(1) यह केवल वोल्टेज या करंट की सीधी गणना के लिए मान्य है, विद्युत गणना के लिए नहीं

(२) यह प्रमेय केवल रैखिक और द्विपक्षीय नेटवर्क के लिए मान्य है

(3) इस मामले में, सर्किट तत्व समय भिन्न या समय-अपरिवर्तनीय हो सकता है

(४) इसमें समरूपता और अतिगुण के गुण सम्मिलित हैं

(५) सर्किट में इसका उपयोग तब किया जाता है जब एक से अधिक सक्रिय स्रोत मौजूद हों

THEVENIN’s का सिद्धांत

Thevenin के प्रमेय में कहा गया है कि स्वतंत्र स्रोतों(independent sources) से युक्त सक्रिय रैखिक नेटवर्क (active linear network) के किसी भी दो आउटपुट टर्मिनलों (इसमें वोल्टेज और धारा स्रोत (current sources) शामिल हैं) को एक एकल प्रतिरोधक (single resister) R_TH के साथ श्रृंखला में परिमाण V_TH के एक साधारण वोल्टेज स्रोत से बदला जा सकता है, जहाँ R_TH का समकक्ष प्रतिरोध है। नेटवर्क जब आउटपुट टर्मिनलों A & B को सभी स्रोतों (वोल्टेज और करंट) से हटाकर और उनके आंतरिक प्रतिरोधों (internal resistance) द्वारा प्रतिस्थापित (replaced) किया जाता है और V_TH का परिमाण A & B टर्मिनलों के खुले सर्किट वोल्टेज के बराबर होता है।

Thevenin के प्रमेय को लागू करने की प्रक्रिया:

Thevenin के प्रमेय का उपयोग करते हुए लोड प्रतिरोध R_L के माध्यम से एक धारा I_L खोजने के लिए, निम्नलिखित चरणों का पालन किया जाता है:

चरण -1: सर्किट से लोड प्रतिरोध को डिस्कनेक्ट करें

चरण -2: लोड प्रतिरोध (R_L) को डिस्कनेक्ट करने के बाद लोड टर्मिनलों (A and B) पर ओपन-सर्किट वोल्टेज V_TH की गणना करें।

चरण -3: प्रत्येक स्वतंत्र स्रोत के साथ सर्किट को इसके आंतरिक प्रतिरोध से बदल दिया।

नोट: वोल्टेज स्रोतों को कम परिचालित किया जाना चाहिए और धारा स्रोतों को खुला-परिचालित किया जाना चाहिए।

चरण -4: लोड टर्मिनलों (A and B) से परिणामी सर्किट में पीछे देखें। लोड टर्मिनलों के बीच मौजूद प्रतिरोध की गणना करें

चरण -5: Thevenin समतुल्य सर्किट (equivalent cuircuit) से V_TH के साथ श्रृंखला में R_TH रखें

चरण -6: मूल भार को Thevenin समतुल्य परिपथ में पुनः लोड करें जैसा कि लोड वोल्टेज में दिखाया गया है, धारा और शक्ति की गणना एक साधारण अंकगणितीय ऑपरेशन द्वारा ही की जा सकती है।

नॉर्टन का सिद्धांत (Norton’s Theorem)

नॉर्टन की प्रमेय में कहा गया है कि सक्रिय रैखिक नेटवर्क (active linear Network) के किसी भी दो आउटपुट टर्मिनलों में स्वतंत्र स्रोत (इसमें वोल्टेज और धारा स्रोत शामिल हैं) को धारा स्रोत और एक समानांतर प्रतिरोधक (parallel resistor) R_N द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। जहां, R_N जो कि आउटपुट के A & B के सभी स्रोतों (वोल्टेज और धारा) के साथ देखने पर नेटवर्क के समतुल्य प्रतिरोध (equivalent resistance) को हटा दिया जाता है और उनके आंतरिक प्रतिरोधों को हटा दिया जाता है और I_N का परिमाण A और B लोड टर्मिनलों शॉर्ट-सर्किट करंट के बराबर होता है

नॉर्टन समतुल्य सर्किट को इस प्रकार दिखाया जा सकता है:

मैक्सिमम पावर ट्रांसफर सिद्धांत (Maximum Power Transfer theorem)

अधिकतम पावर ट्रांसफर प्रमेय एक प्रतिरोधक भार बताता है, जो DC नेटवर्क से जुड़ा होता है, जब अधिकतम प्रतिरोध लोड नेटवर्क से लोड किए गए स्रोत नेटवर्क के बराबर प्रतिरोध के बराबर होता है, तो अधिकतम बिजली की खपत होती है।

एक चर प्रतिरोध (variable resistance) R_L एक DC स्रोत नेटवर्क से जुड़ा हुआ है जैसा कि ऊपर चित्र में दिखाया गया है और थेवेनिन के वोल्टेज V_TH और थेवेनिन के समकक्ष प्रतिरोध R_TH स्रोत नेटवर्क के हैं। उद्देश्य R_L के मूल्य को निर्धारित करना है कि यह DC स्रोत से अधिकतम बिजली की खपत करता है।

अधिकतम पावर ट्रांसफर प्रमेय का उपयोग कर नेटवर्क के समाधान के लिए कदम:

चरण 1: लोड प्रतिरोध को हटा दें और खुले सर्कुलेटेड टर्मिनलों के माध्यम से स्रोत नेटवर्क के थेवेनिन प्रतिरोध (R_Th) को देखें।

चरण 2: अधिकतम पावर ट्रांसफर प्रमेय के अनुसार, यह R_Th नेटवर्क का लोड प्रतिरोध है, अर्थात R_L= R_Th जो अधिकतम पावर ट्रांसफर की अनुमति देता है।

चरण 3: खुले सर्कुलेटेड लोड टर्मिनलों में थेवेनिन के वोल्टेज (V_Th) का पता लगाएं।

चरण 4: अधिकतम शक्ति अंतरण द्वारा दिया गया है:

Pmax = (V_th) ² / 4R_th

नोट: अधिकतम पावर ट्रांसफर की स्थिति के परिणामस्वरूप थेवेनिन समकक्ष में 50 प्रतिशत दक्षता, हालांकि मूल सर्किट में बहुत कम दक्षता है।

पारस्परिक प्रमेय (Reciprocity Theorem)

पारस्परिक प्रमेय में कहा गया है कि – किसी नेटवर्क या सर्किट की किसी भी शाखा में, नेटवर्क में वोल्टेज (V) के एकल स्रोत (single source) के कारण करंट उस शाखा के बराबर होता है जिसमें स्रोत को मूल रूप से तब रखा जाता है जब स्रोत को फिर से उस रखा जाता है।जिस शाखा स वर्तमान में मूल रूप से प्राप्त किया गया था इस प्रमेय का उपयोग द्विपक्षीय रैखिक नेटवर्क में किया जाता है जिसमें द्विपक्षीय घटक होते हैं।

सरल शब्दों में, हम पारस्परिकता प्रमेय को बता सकते हैं जब किसी भी नेटवर्क में वोल्टेज और वर्तमान स्रोत के स्थानों को आपस में जोड़ा जाता है या सर्किट में प्रवाहित होने वाली वोल्टेज की मात्रा या परिमाण समान रहता है।

इस प्रमेय का उपयोग कई डीसी और एसी नेटवर्क को हल करने के लिए किया जाता है, जिसमें इलेक्ट्रोमैग्नेटिज़्म इलेक्ट्रॉनिक्स में कई एप्लिकेशन होते हैं। इन सर्किटों में कोई समय-भिन्न तत्व नहीं होता है।

पारस्परिक प्रमेय का स्पष्टीकरण

वोल्टेज स्रोत और वर्तमान स्रोत का स्थान वर्तमान में परिवर्तन के बिना बदल सकता है। हालांकि, वोल्टेज स्रोत की ध्रुवता (polarity) प्रत्येक स्थिति में शाखा प्रवाह की दिशा के समान होनी चाहिए।

पारस्परिक प्रमेय को नीचे दिखाए गए सर्किट आरेख की मदद से समझाया गया है

विभिन्न प्रतिरोधों R1, R2, R3 एक वोल्टेज स्रोत (V) और एक वर्तमान स्रोत (I) के साथ ऊपर सर्किट आरेख में जुड़ा हुआ है। ऊपर दिए गए आंकड़े से यह स्पष्ट है कि वोल्टेज स्रोत और वर्तमान स्रोत परस्पर पारस्परिक प्रमेय की मदद से नेटवर्क को हल करने के लिए आपस में जुड़े हुए हैं।

इस प्रमेय की सीमा यह है कि यह केवल एकल-स्रोत नेटवर्क पर लागू होता है, न कि बहु-स्रोत नेटवर्क में। नेटवर्क जहां पारस्परिकता प्रमेय लागू किया जाता है, रैखिक होना चाहिए और इसमें प्रतिरोधक, प्रेरक, कैपेसिटर और युग्मित सर्किट (coupled circuits) शामिल होते हैं। सर्किट में कोई समय-भिन्न तत्व नहीं होना चाहिए।

नेटवर्क का उपयोग करने के लिए पारस्परिकता प्रमेय का उपयोग

चरण 1: सबसे पहले, उन शाखाओं का चयन करें जिनके बीच पारस्परिकता स्थापित की जानी है।

चरण 2: शाखा में करंट किसी भी पारंपरिक नेटवर्क विश्लेषण पद्धति का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।

चरण 3: वोल्टेज स्रोत उस शाखा के बीच परस्पर जुड़ा हुआ है जिसे चुना गया है।

चरण 4: जिस शाखा में पहले वोल्टेज स्रोत मौजूद था, उसकी गणना की जाती है।

चरण 5: अब, यह देखा जाता है कि पिछले कनेक्शन में प्राप्त धारा, यानी चरण 2 में और वर्तमान की गणना की जाती है, जब स्रोत परस्पर जुड़ा होता है, अर्थात चरण 4 में एक दूसरे के समान होते हैं।